Question

6．如圖，在△ABC中，∠A=120°，點D是BC的中點，點E是AB上的一點，點F是AC上的一點，∠EDF=90°，且BE=2，FC=7，則EF=$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 延長ED至G，使DG=DE，連接CG、FG，證CDG≌△BDE得CG=BE=2、∠GCD=∠B，由∠A=120°即∠B+∠ACB=60°得∠DCG+∠ACB=60°，即∠GCF=60°，作GH⊥FC，求得GH=GCsin∠GCF=$\sqrt{3}$、CH=GCcos∠GCF=1、FH=6，DE⊥DF，DG=DE，利用勾股定理即可得出答案．

解答 解：延長ED至G，使DG=DE，連接CG、FG，如圖所示：

在△CDG和△BDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠CDG=∠BDE}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG=BE=2，∠GCD=∠B，
∵∠A=120°，
∴∠B+∠ACB=60°，
∴∠DCG+∠ACB=60°，即∠GCF=60°，
過點G作GH⊥FC于點H，
∴GH=GCsin∠GCF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，CH=GCcos∠GCF=2×$\frac{1}{2}$=1，
則FH=FC-CH=7-1=6，
∵DE⊥DF，DG=DE，
∴EF=FG=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
故答案為：$\sqrt{39}$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數的應用，通過作輔助線構造三角形全等是解決問題的關鍵．