Question

2．已知x，y，z均為非負數，且滿足x=y+z-1=4-y-2z．
（1）用x表示y，z；
（2）求u=2x²-2y+z的最小值．

Answer 1

分析 （1）①×2+②消去z得用x表示y得式子，①+②消去y得用x表示z的式子；
（2）把（1）中求得的式子代入u=2x²-2y+z，得到關于x的二次函數，再根據x、y、z都是非負數列出不等式組求出x的取值范圍，然后求出二次函數的對稱軸并利用二次函數的增減性解答．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{x=y+z-1①}\\{x=4-y-2z②}\end{array}\right.$，
①×2+②消去z得y=3x-2，
①+②消去y得z=-2x+3；
（2）∵x，y，z均為非負數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-2≥0①}\\{-2x+3≥0②}\end{array}\right.$，
解不等式①得，x≥$\frac{2}{3}$，
解不等式②得，x≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
u=2x²-2y-z，
=2x²-2（3x-2）-（3-2x），
=2x²-4x+1，
=2（x-1）²-1，
當x=1時有最小值為2（1-1）²-1=-1．

點評 本題考查了二次函數的最值問題，用x表示出y、z從而得到關于x的二次函數是解題的關鍵，要注意x的取值范圍的求解．