Question

4．若關于x的方程2x²-mx+1=0的兩根正好是某直角三角形兩銳角的正弦，則m的值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設方程2x²-mx+1=0的兩根分別為x₁、x₂，根據根與系數的關系即可得出x₁+x₂=$\frac{m}{2}$、x₁•x₂=$\frac{1}{2}$，再根據x₁、x₂是某直角三角形兩銳角的正弦，即可得出關于m的一元二次方程且m為正值，解之即可得出結論．

解答 解：設方程2x²-mx+1=0的兩根分別為x₁、x₂，
則有：x₁+x₂=$\frac{m}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
∵x₁、x₂是某直角三角形兩銳角的正弦，
∴x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=$\frac{m}{2}$＞0，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$-1=1，
解得：m=2$\sqrt{2}$或m=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了根與系數的關系、解直角三角形以及解一元二次方程，根據方程兩根為某直角三角形兩銳角的正弦列出關于m的一元二次方程是解題的關鍵．