Question

4．如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，點E從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB運動，在射線CD上取點F，且CF=CE，連接EF，當EF經過點A時，點E停止運動，△CEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，點E的運動時間為t秒，且知當0＜t≤2時，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²，S關于t的函數圖象如圖2所示，（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t≤4時，函數的解析式不同）．
（1）∠BAC=60°；
（2）求m的值；
（3）當2＜t≤4時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）由題意知當點E運動到E時CD=CE=2，當點E運動到M時CM=CN=4，作DP⊥EC于點P，根據當t=2時，S=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$EC•DP，即$\frac{1}{2}$×2×DP=$\sqrt{3}$得DP=AB=$\sqrt{3}$，從而知∠C=60°，進而得△CMN是等邊三角形且MN=CN=MC=4、CP=$\frac{1}{2}$CE=1，由AD∥BC知△ADN是等邊三角形，得出AN=AM=2，結合等腰三角形性質知∠CAM=90°、Rt△ABM中根據cos$∠BAM=\frac{AB}{AM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得∠BAM=30°，依據∠CAB=∠CAM-∠BAM得出答案；
（2）當點E運動到點B位置時CB=m，在Rt△ABM中，由AM=2、∠BAM=30°知BM=$\frac{1}{2}$AM=1，從而得CB=CM-BM=4-1=3；
（3）當2＜t≤3時，由（1）知△CEF是邊長為t的等邊三角形、△DFG等邊三角形，DF=CF-CD=t-2，根據S=S_△CEF-S_△DGF可得；當3＜t≤4時，Rt△BEM中BM=BEtan∠BEM=$\sqrt{3}$（t-3），依據S=S_△CEF-S_△DNF-S_△BEM可得．

解答 解：（1）如圖1，由題意知當點E運動到E時，CD=CE=2，當點E運動到M時，CM=CN=4，

作DP⊥EC于點P，
當t=2時，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$EC•DP，即$\frac{1}{2}$×2×DP=$\sqrt{3}$，
∴DP=AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△CDP中，∵sinC=$\frac{DP}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠C=60°，
∴△CMN是等邊三角形，且MN=CN=MC=4，
∴CP=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵四邊形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADN=60°，
∴△ADN是等邊三角形，且AD=AN=DN=CN-CD=4-2=2，
∴AM=MN-AN=2=AN，
∴CA⊥MN，即∠CAM=90°，
在Rt△ABM中，∵AM=2，AB=$\sqrt{3}$，
∴cos$∠BAM=\frac{AB}{AM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAM=30°，
∴∠CAB=∠CAM-∠BAM=60°，
故答案為：60°；

（2）當點E運動到點B位置時，CB=m，
在Rt△ABM中，∵AM=2，∠BAM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AM=1，
∴CB=CM-BM=4-1=3，
即m=3；

（3）如圖2，當2＜t≤3時，

由（1）知，∠C=60°，且CE=CF=t，CD=2，
∴△CEF是邊長為t的等邊三角形，
∴∠CFE=60°，
∵AD∥BC，
∴∠FDG=∠C=60°，
∴△DFG等邊三角形，DF=CF-CD=t-2，
則S=S_△CEF-S_△DGF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$；
當3＜t≤4時，如圖3，

∵△CEF和△DNF是等邊三角形，CE=CF=t，CD=2，BC=3
∴DF=CF-CD=t-2，BE=CE-BC=t-3，
在Rt△BEM中，BM=BEtan∠BEM=$\sqrt{3}$（t-3），
則S=S_△CEF-S_△DNF-S_△BEM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²-$\frac{1}{2}$×（t-3）•$\sqrt{3}$（t-3）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-$\frac{11\sqrt{3}}{2}$，
綜上，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{\sqrt{3}t-\sqrt{3}}&{（2＜t≤3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t-\frac{11\sqrt{3}}{2}}&{（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查四邊形的綜合，涉及的知識點有等邊三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、解直角三角形及等邊三角形的面積，根據函數圖象得出t=2和t=4時的臨界情況在變化過程中的所表示的線段長是關鍵．