Question

8．【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為$\frac{a+b}{2}$．
【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
【綜合運(yùn)用】
（1）填空：
①A、B兩點(diǎn)間的距離AB=10，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為3；
②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t；點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t．
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等列方程得到t=2，于是得到當(dāng)t=2時(shí)，P、Q相遇，即可得到結(jié)論；
（3）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到結(jié)論；
（4）由點(diǎn)M表示的數(shù)為 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，點(diǎn)N表示的數(shù)為 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①10，3；
②-2+3t，8-2t；
（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等
∴-2+3t=8-2t，
解得：t=2，
∴當(dāng)t=2時(shí)，P、Q相遇，
此時(shí)，-2+3t=-2+3×2=4，
∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；
（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，
∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
又PQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1或3，
∴當(dāng)：t=1或3時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）∵點(diǎn)M表示的數(shù)為 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，
點(diǎn)N表示的數(shù)為 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，
∴MN=|（$\frac{3t}{2}$-2）-（$\frac{3t}{2}$+3）|=|$\frac{3t}{2}$-2-$\frac{3t}{2}$-3|=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用應(yīng)用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．