Question

15．己知實數(shù)m，n滿足m-n=$\sqrt{10}$，m²-3n²為素數(shù)，若m²-3n²的最大值為a，最小值為b，則a-b的值為11．

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)m²-3n²=q，進而利用已知得出關(guān)于n的方程，再利用根的判別式得出q的取值范圍，進而得出答案．

解答 解：設(shè)m²-3n²=q
∵m-n=$\sqrt{10}$，
∴m=$\sqrt{10}$+n
∴（$\sqrt{10}$+n）²-3n²=q
∴10+2$\sqrt{10}$n+n²-3n²=q
∴2n²-2$\sqrt{10}$n-10+q=0
∵n為實數(shù)
∴（-2$\sqrt{10}$）²-4×2（q-10）≥0
解得：q≤15
∴q=2；3；5；7；11；13
∵m²-3n²的最大值為a，最小值為b，
∴a=13，b=2，
∴a-b=13-2=11．
故答案為：11．

點評 此題主要考查了質(zhì)數(shù)的定義以及根的判別式，正確得出q的取值范圍是解題關(guān)鍵．