Question

2．如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB=30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10?的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．

（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，此時，∠BOC與∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE=140°．
①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間t=7或25秒時，邊AB所在的直線與OC平行？
②在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA，OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的t的取值．若不存在，請說明理由．
③在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊AB與射線OE相交時（如圖3），求∠AOC-∠BOE的值．

Answer 1

分析 （1）由∠AOB=90°知∠BOC+∠AOC=90°、∠AOD+∠BOE=90°，根據(jù)∠AOD=∠AOC可得答案；
（2）①由∠COE=140°知∠COD=40°，分AB在直線DE上方和下方兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求得∠AOD度數(shù)，從而求得t的值；
②當(dāng)OA平分∠COD時∠AOD=∠AOC、當(dāng)OC平分∠AOD時∠AOC=∠COD、當(dāng)OD平分∠AOC時∠AOD=∠COD，分別列出關(guān)于t的方程，解之可得；
③由∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE、∠BOE=90°-∠AOE得∠AOC-∠BOE=（140°-∠AOE）-（90°-∠AOE）=50°．

解答 解：（1）∠BOC=∠BOE，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC，
∴∠BOC=∠BOE；

（2）①∵∠COE=140°，
∴∠COD=40°，
如圖1，當(dāng)AB在直線DE上方時，

∵AB∥OC，
∴∠AOC=∠A=30°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=70°，即t=7；
如圖2，當(dāng)AB在直線DE下方時，

∵AB∥OC，
∴∠COB=∠B=60°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=20°，
則∠AOD=90°+20°=110°，
∴t=$\frac{360°-110°}{10}$=25，
故答案為：7或25；
②當(dāng)OA平分∠COD時，∠AOD=∠AOC，即10t=20，解得t=2；
當(dāng)OC平分∠AOD時，∠AOC=∠COD，即10t-40=40，解得t=8；
當(dāng)OD平分∠AOC時，∠AOD=∠COD，即360-10t=40，解得：t=32；
綜上，t的值為2、8、32；
③∵∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOC-∠BOE=（140°-∠AOE）-（90°-∠AOE）=50°，
∴∠AOC-∠BOE的值為50°．

點(diǎn)評 本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)及角的計算，根據(jù)題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關(guān)鍵．