Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為AB中點，點E在BA的延長線上，過B作BF⊥EC交EC延長線于F，交DC延長線于G．
（1）求證：∠BEF=∠BGD；
（2）求證：DE=DG；
（3）BC與EG垂直嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據垂直的定義和同角的余角相等即可得到結論；
（2）首先根據等腰三角形的知識得到CD=BD，進而證明出△ECD≌△GBD，于是結論得證；
（3）延長BC交EG于H，求出∠BHD=90°即可證明．

解答 證明：（1）∵AC=BC，點D為AB中點，
∴∠BDG=∠EDG=90°
∴∠BGD+∠DBG=90°，
∵BF⊥EC，
∴∠BEF+∠DBG=90°，
∴∠BEF=∠BGD．

（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵∠BDG=90°，
∴∠BCD=90°-∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC，
∴CD=BD，
在△ECD和△GBD中$\left\{\begin{array}{l}∠BEF=∠BGD\\ DC=DB\\∠EDC=∠GDB\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD，
∴DE=DG；

（3）BC⊥EG，
證明：延長BC交EG于H
∵∠EDG=90°，DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE=45°，
∴∠BHG=∠DEG+∠ABC=90°，
∴BC⊥EG．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的知識，解（1）要掌握同角的余角相等，解（2）關鍵是證明△ECD≌△GBD，解（3）關鍵是作輔助性．