Question

6．如圖，∠BOC=90°，點(diǎn)A在∠BOC的內(nèi)部，OA=2，∠AOC=30°，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)O，A同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA方向運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作直線l⊥OA于P，過點(diǎn)Q作QM⊥OB于點(diǎn)M，QN⊥OC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）
（1）用含t的代數(shù)式表示線段OQ和線段PQ的長；
（2）分別求出點(diǎn)M和點(diǎn)N落在直線1上時(shí)t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)直線l掃過矩形QMON的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）設(shè)直線l與矩形QMON的邊交于點(diǎn)E，F(xiàn)連結(jié)AE，AF，當(dāng)t為何值時(shí)，直線AE和直線AF這兩條直線的一條與矩形QMON的邊垂直（請直接寫出t的值）．

Answer 1

分析 （1）由題意OQ=OA+AQ=2+t，PO=t，即可推出PQ=OQ-OP=（2+t）-t=2．
（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，在Rt△PQN中，由∠PQN=30°，PQ=2，推出PN=PQ•tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，在Rt△OPN中，OP=PN•tan30°=$\frac{2}{3}$，由此即可求出t的值．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)．在Rt△PQM中，由∠PMQ=30°，PQ=2，推出PM=$\frac{PQ}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，在Rt△OPM中，OP=$\frac{PM}{tan30°}$=6，由此即求出t的值．
（3）分三種情形討論①如圖3中，當(dāng)0＜t≤$\frac{2}{3}$時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是△OMN．②如圖4中，$\frac{2}{3}$＜t≤6時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是四邊形MOFK．③如圖5中，當(dāng)t＞6時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是五邊形EOFKG．分別求解即可．
（4）分兩種情形①如圖6中，當(dāng)AF⊥ON時(shí)．②如圖7中，當(dāng)AE⊥OM時(shí)，分別求出OP的長即可解決問題．

解答 解：（1）由題意OQ=OA+AQ=2+t，PO=t，
∴PQ=OQ-OP=（2+t）-t=2．
∴OQ=2+t，PQ=2．

（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)．

在Rt△PQN中，∵∠PQN=30°，PQ=2，
∴PN=PQ•tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
在Rt△OPN中，OP=PN•tan30°=$\frac{2}{3}$，此時(shí)t=$\frac{2}{3}$s．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)．

在Rt△PQM中，∵∠PMQ=30°，PQ=2，
∴PM=$\frac{PQ}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OPM中，OP=$\frac{PM}{tan30°}$=6，
此時(shí)t=6s．

（3）①如圖3中，當(dāng)0＜t≤$\frac{2}{3}$時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是△OMN，易知ON=2t，OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t，

∴S=$\frac{1}{2}$•ON•OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²．
②如圖4中，$\frac{2}{3}$＜t≤6時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是四邊形MOFK，

S=S_△OMN-S_△FKN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²-$\frac{1}{2}$•（2t-$\frac{t+2}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-$\frac{t+2}{2}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
③如圖5中，當(dāng)t＞6時(shí)，直線l掃過矩形QMON的圖形是五邊形EOFKG．

S=S_△OMN-S_△KFN-S_△EGM=$\frac{7\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\frac{1}{2}$•[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-（t+2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]•$\sqrt{3}$•[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-（t+2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{\frac{7\sqrt{3}}{24}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{6}}&{（\frac{2}{3}＜t≤6）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{3}}&{（t＞6）}\end{array}\right.$

（4）①如圖6中，當(dāng)AF⊥ON時(shí)，

在Rt△OAF中，OF=OA•cos60°=1，
在Rt△OPF中，OP=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$，此時(shí)t=$\frac{1}{2}$s．
②如圖7中，當(dāng)AE⊥OM時(shí)，

在Rt△AEO中，OE=OA•cos30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPE中，OP=OE•cos30°=$\frac{3}{2}$，
綜上所述，當(dāng)t為$\frac{1}{2}$s或$\frac{3}{2}$s時(shí)，直線AE和直線AF這兩條直線的一條與矩形QMON的邊垂直．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形的面積以及路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用分割法求多邊形的面積，屬于中考壓軸題．