Question

5．若（x-1）（y+1）=3，xy（x-y）=4，則x⁷-y⁷=1136．

Answer 1

分析 通過（x-1）（y+1）=3，xy（x-y）=4，可求出xy與x-y的值．再運用完全平方公式求出x⁴+y⁴、x²+y²，利用立方差公式求出x³-y³的值，根據x⁷-y⁷=（x⁴+y⁴）（x³-y³）+x³y³（x-y）計算求出結果．

解答 解：∵（x-1）（y+1）=3，
∴xy+x-y=4，
又∵xy（x-y）=4，
解得xy=2，x-y=2．
∴x²+y²=（x-y）²+2xy=2²+2×2=8，
x³-y³=（x-y）（x²+xy+y²）=2（8+2）=20，
x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=8²-2×2²=56，
∴x⁷-y⁷=（x⁴+y⁴）（x³-y³）+x³y³（x-y）=56×20+2³×2=1136．
故答案為1136．

點評 本題考查因式分解、完全平方公式、立方差公式．解決本題的關鍵是將x⁴+y⁴、x²+y²運用完全平方公式，x³-y³運用立方差公式分解．