Question

14．已知，如圖，等腰直角△ABC與等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連結(jié)AF，M時AF的中點(diǎn)，連結(jié)MB，且點(diǎn)C，B，E在同一直線上．求證：BM∥CF．

Answer 1

分析 證法一：延長AB交CF于點(diǎn)D，然后可得到△ACD為等腰直角三角形，故此可知B為AD的中點(diǎn)，最后依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
證法二：延長BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可．

解答 證明法一：延長AB交CF于點(diǎn)D．

∵△ABC等腰直角三角形，
∴△BCD均為等腰直角三角形．
∴AB=BC=BD，
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，
∴BM為△ADF的中位線，
∴BM∥CF．
證明方法二：如圖2：延長BM交EF于D．

∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，
∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DFM}\\{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．