Question

19．如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$，且經過A，C兩點，與x軸的另一個交點為點B．
（1）求拋物線解析式．
（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求四邊形PAOC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求的直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；
（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=$\frac{1}{2}$m²-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S_{四邊形PAOC}=S_△AOC+S_△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；
（3）根據兩個角對應相等得兩個三角形相似，可得M₁，根據拋物線的對稱性，可得M₂，根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x+2中，當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=-$\frac{3}{2}$對稱，
∴點B的坐標為1，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過A（-4，0），B（1，0），
∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），
又∵拋物線過點C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-$\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）設P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
如圖1，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）
=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_{四邊形PAOC}=S_△AOC+S_△PAC=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×PQ×4=2PQ+4=-m²-4m+4=-（m+2）²+8，
∴當m=-2時，△PAC的面積有最大值是8，
此時P（-2，3）．

（3）如圖2，
，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC∽△AOC∽△CBO，
①若點M在x軸上方時，當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC．
根據拋物線的對稱性，當M（-3，2）時，△MAN∽△ABC；
②若點M在x軸的下方時，設N（n，0），則M（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2），
∴MN=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2，AN=n+4，
當$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$時，MN=$\frac{1}{2}$AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{1}{2}$（n+4），
化簡，得n²+2n-8=0，
n₁=-4（舍），n₂=2，M（2，-3）；
當$\frac{MN}{AC}$=$\frac{AN}{BC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2時，MN=2AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=2（n+4），
化簡，得n²-n-20=0，
解得：n₁=-4（舍去），n₂=5，
∴M（5，-18），
綜上所述：存在點M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用方程得解得出判別式的不等式是解題關鍵；利用平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標是解題關鍵；利用相似三角形的對應變得比相等得出方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．