Question

4．先閱讀材料再解決問題．
【閱讀材料】
學習了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小組同學探究了如下問題：“當△ABC和△DEF滿足AB=DE，∠B=∠E，AC=DF時，△ABD和△DEF是否全等”．
如圖1，這小組同學先畫∠ABM=∠DEN，AB=DE，再畫AC=DF．在畫AC=DF的過程中，先過A作AH⊥BM于點H，發現如下幾種情況：
當AC＜AH時，不能構成三角形；
當AC=AH時，根據“HL”或“AAS”，可以得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
當AC＞AH時，又分為兩種情況．
①當AH＜AC＜AB時，△ABC和△DEF不一定全等．
②當AC≥AB時，△ABC和△DEF一定全等．
【解決問題】
（1）對于AH＜AC＜AB的情況，請你用尺規在圖2中補全△ABC和△DEF，使△ABC和△DEF不全等．（標明字母并保留作圖痕跡）
（2）對于AC≥AB的情況，請在圖3中畫圖并證明△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 （1）根據題意作圖；
（2）分AC=AB、AC＞AB兩種情況，根據全等三角形的判定定理證明．

解答 解：（1）如圖2，△ABC和△DEF不全等；
（2）證明：當AC=AB時，
∵AC=DF，
∴AC=DF=AB=DE，
∴∠B=∠ACB，∠E=∠DFE，又∵∠B=∠E，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{∠ACB=∠DFE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF，
當AC＞AB時，作DI⊥EF于I，
∴∠AHB=∠DIE=90°，
在△ABH和△DEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{∠AHB=∠DIE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DEI，
∴AH=DI，
在△AHC和△DIF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{AH=DI}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△DIF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{B=∠E}\\{∠ACB=∠DFE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理并靈活運用是解題的關鍵．