Question

14．觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：
例1：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
例2：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$
利用以上結論解答以下問題：
（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$；
（2）你用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律．$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$
（3）應用上面的結論，求下列式子的值．
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$
（4）拓展提高，求下列式子的值．
$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2017}}$．

Answer 1

分析 （1）將$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$、$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$分母有理化，有理化因式分別為$\sqrt{6}-\sqrt{5}$、$\sqrt{100}-\sqrt{99}$；
（2）被開方數是兩個相鄰的數，即$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，它的有理化因式為$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，寫出規律即可；
（3）由（1）（2）得，原式=$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}-\sqrt{3}$+…+$\sqrt{100}-\sqrt{99}$，合并可得結果；
（4）先將分母根據加法交換律變形，再依次分母有理化，注意分母為2，提取$\frac{1}{2}$后可得結果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{5}$，
$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=$\sqrt{100}-\sqrt{99}$，
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；$\sqrt{100}-\sqrt{99}$；
（2）由題意得變形規律為：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
故答案為：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$，
=$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}-\sqrt{3}$+…+$\sqrt{100}-\sqrt{99}$，
=-1+$\sqrt{100}$，
=-1+10，
=9；
（4）$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2017}}$，
=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2015}}$，
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2015}}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2015}$），
=$\frac{1}{2}$（-1+$\sqrt{2017}$），
=$\frac{\sqrt{2017}-1}{2}$．

點評 本題考查了分母有理化和平方差公式的運用，找規律是解決此題的關鍵，注意有理化因式的確定．