Question

16．情景觀察：
如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點(diǎn)F．
①寫出圖1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是AF=2CE．
問題探究：
如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E．
求證：AE=2CD．
拓展延伸：
如圖3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，點(diǎn)D在AC上，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，DE⊥CE，垂足為E，DE與BC交于點(diǎn)F．求證：DF=2CE．
要求：請(qǐng)你寫出輔助線的作法，并在圖3中畫出輔助線，不需要證明．

Answer 1

分析 情境觀察：①由全等三角形的判定方法容易得出結(jié)果；
②由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
問題探究：延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對(duì)應(yīng)邊相等CD=GD，即CG=2CD，證出∠BAE=∠BCG，由ASA證明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．
拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延長(zhǎng)線于G，同上證明三角形全等，得出DF=CG即可．

解答 解：情境觀察：
①∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEB和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（HL），
∵CD⊥AB，∠BAC=45°，
∴AD=CD，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴$∠B=\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠B=22.5°，
又∵∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠BCD=∠FAD，
在△BCD和△FAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠FAD}\\{CD=AD}\\{∠CDB=∠ADF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FAD（ASA），
故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是：AF=2CE；
∵△BCD≌△FAD，
∴AF=BC，
又∵AB=AC，且AE⊥BC，
∴BC=2CE，
∴AF=2CE，
故答案為：AF=2CE．

問題探究：
延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)G，如圖2所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ADG}\\{AD=AD}\\{∠CAD=∠GAD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBG=90°}\\{AB=CB}\\{∠BAE=∠BCG}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CBG中（ASA），
∴AE=CG=2CD．

拓展延伸：如圖3所示．作DG⊥BC于點(diǎn)H，交CE的延長(zhǎng)線于G，

∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∴∠GDC=∠BAC=45°，
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°=∠EDG，DH=CH，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=∠DEG=90°，
在△DEC和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠EDG}\\{DE=DE}\\{∠DEC=∠DEG}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DEG（ASA），
∴DC=DG，
∵∠DHF=∠CEF=90°，∠DFH=∠CFE，
∴∠FDH=∠GCH，
在△DHF和△CHG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FDH=∠GCH}\\{DH=CH}\\{∠DHF=∠CHG=90°}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△CHG（ASA），
∴DF=CG=2CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．