Question

18．如圖，在等邊△ABC中，D，E，F分別為邊AB，BC，CA上的點，且滿足∠DEF=60°．
（1）求證：BE•CE=BD•CF；
（2）若DE⊥BC且DE=EF，求$\frac{BE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質可知∠B=∠C=60°，再由已知條件和三角形內角和定理可證明∠BDE=∠FEC，進而證明△DBE∽△ECF．
（2）由相似三角形的性質和已知條件得出BD=CE，由含30°角的直角三角形的性質得出BE=$\frac{1}{2}$BD，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEC是△DBE的外角，
∴∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∴BE•CE=BD•CF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{DE}{EF}$，
又∵DE=EF，即$\frac{DE}{EF}=1$，
∴BD=CE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形的外角性質、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．