Question

10．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D（1，n）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA的長度確定出A的坐標(biāo)，再利用對稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式y(tǒng)=a（x-2）²+3，將A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)；
存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí)，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，$\frac{9}{4}$），即DM=2，故AN=2，根據(jù)OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=$\frac{9}{4}$，N′P=AQ=3，將y=-$\frac{9}{4}$代入得：-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$x²+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
則可求得拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3=-$\frac{3}{4}$x²+3x；

（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（4，0）與C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故直線AC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
與拋物線解析式聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{4}$）；
存在，分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如答圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，
由對稱性得到M（3，$\frac{9}{4}$），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如答圖2所示：

過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=$\frac{9}{4}$，NP=AQ=3，
將y_M=-$\frac{9}{4}$代入拋物線解析式得：-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
解得：x_M=2-$\sqrt{7}$或x_M=2+$\sqrt{7}$，
∴x_N=x_M-3=-$\sqrt{7}$-1或$\sqrt{7}$-1，
∴N₃（-$\sqrt{7}$-1，0），N₄（$\sqrt{7}$-1，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（-$\sqrt{7}$-1，0），N₄（$\sqrt{7}$-1，0）．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是一道多知識(shí)點(diǎn)的探究型試題．