Question

19．如圖①，已知∠MON=Rt∠，點A，P分別是射線OM，ON上兩定點，且OA=2，OP=6，動點B從點O向點P運動，以AB為斜邊向右側作等腰直角△ABC，設線段OB的長x，點C到射線ON的距離為y．
（1）若OB=2，直接寫出點C到射線ON的距離；
（2）求y關于x的函數表達式，并在圖②中畫出函數圖象；
（3）當動點B從點O運動到點P，求點C運動經過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）OB=2時，四邊形OACB是正方形，由此即可解決問題．
（2）如圖③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．由△CEA≌△CFB，推出AE=CF，CE=CF，由∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，推出四邊形OECF是矩形，由CE=CF，
推出四邊形OECF是正方形，根據AE=y-2，FB=x-y，可得y-2=x-y，即y=$\frac{1}{2}$x+1（0≤x≤6），畫出圖象即可．
（3）如圖③中，由CE=CF，推出OC平分∠MON，推出點C的運動軌跡是線段OC，因為x=6，y=4，可得OC=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如圖①中，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，△ACB是等腰直角三角形，
∴四邊形OACB是正方形，
∴點C到ON的距離為2．

（2）如圖③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．

∵∠ACB=∠ECF=90°，CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴△CEA≌△CFB，
∴AE=CF，CE=CF，
∵∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，
∴四邊形OECF是矩形，∵CE=CF，
∴四邊形OECF是正方形，
∴CF=CE=OE=OF=y，
∵AE=y-2，FB=x-y，
∴y-2=x-y，
∴y=$\frac{1}{2}$x+1，可得函數圖象如圖②所示，


（3）如圖③中，∵CE=CF，
∴OC平分∠MON，
∴點C的運動軌跡是線段OC，
∵x=6，y=4，
∴OC=4$\sqrt{2}$，
∴點C運動經過的路徑長為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查動點問題函數圖象、一次函數的應用，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．