Question

20．如圖，在?ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）試說明：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=7，AD=12，AE=5，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行且相等，得到一對同旁內角互補，一對內錯角相等，根據已知角相等，利用等角的補角相等得到三角形ADF與三角形DEC相似，利用相似三角形對應邊成比例即可得證；
（2）根據AE與BC垂直，得到兩個角為直角，利用勾股定理求出BE與DE的長，由三角形ADF與三角形DEC相似，得比例，求出AF的長即可．

解答 （1）證明：∵平行四邊形ABCD，∠AFE=∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，根據勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，EC=12-2$\sqrt{6}$，
在Rt△ADE中，根據勾股定理得：DE=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{DC}$，
∴AF=$\frac{84}{13}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．