Question

12．如圖，在 Rt△ABO 中，斜邊 AB=1，若 OC∥BA，∠AOC=36°，則下面四個結論：
①點B到AO的距離為sin54°；②點B到AO的距離為tan36°；
③點A到OC的距離為sin36°•sin54°；④點A到OC的距離為cos36°•sin54°．
其中正確的是③（填序號）．

Answer 1

分析 過點A作BH⊥OC于H，在Rt△AOB中，利用正弦和余弦的定義可計算出OB和OA，則可對①②進行判斷；在Rt△OBH中，利用∠BOH的正弦可計算出BH，然后關鍵平行線的性質可對③④進行判斷．

解答 解：在Rt△AOB中，∵sinA=$\frac{BO}{AB}$，
∴BO=ABsinA=sin36°或BO=cos54°，
即點B到OA的距離為sin36°或cos54°，所以①錯誤；
∵cosA=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA=ABcosA=cos36°或sin54°，
即點A到OB的距離為cos36°或sin54°，所以②錯誤；
過點A作BH⊥OC于H，如圖，
在Rt△OBH中，∵sin∠BOH=$\frac{BH}{OB}$，
∴BH=OBsin54°=sin36°•sin54°，
∵OC∥AB，
∴點A到OC的距離為sin36°•sin54°．所以③正確，而④錯誤．
故答案為：③．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形，熟練掌握勾股定理和銳角三角函數的定義是解決此類問題的關鍵．直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．