Question

3．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=-$\frac{3}{2}$x+3與x軸的交點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（1，1），求：
（1）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨著x的增大而減小；
（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意先設(shè)出二次函數(shù)的解析式：y=ax²+bx+c，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{2}$x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，令一次函數(shù)y=0求出其與x軸的交點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)（1，1）也在二次函數(shù)圖象上，把兩點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）直接得出二次函數(shù)對(duì)稱軸，進(jìn)而利用開口方向得出增減性；
（3）利用二次函數(shù)的增減性得出其最值．

解答 解：由y=-$\frac{3}{2}$x+3的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（1，1），
令y=0，得x=2
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過（2，0），（1，1）三點(diǎn)，
把（0，3），（1，1）分別代入y=ax²+bx+3，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{a+b+3=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴所求二次函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）∵a=$\frac{1}{2}$＞0，x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∴x＜$\frac{5}{2}$時(shí)，y隨著x的增大而減小；

（3）∵當(dāng)0≤x≤4時(shí)，即x=$\frac{5}{2}$時(shí)y有最小值為：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×\frac{1}{2}×3-（\frac{5}{2}）^{2}}{4×\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值為：3．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的增減性，正確利用二次函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵．