Question

11．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．
（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE，求$\frac{BE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據等邊對等角性質和平行線的判定和性質證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；
（2）根據圓周角定理、勾股定理得出BE=2$\sqrt{2}$AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中可求$\frac{BE}{CE}$的值．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$AE，
在RT△BEC中，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{2}AE}{4AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，平行線的判定和性質，切線的判定，勾股定理的應用以及三角形相似的判定和性質等，是一道綜合題，難度中等．