Question

10．閱讀下面材料：小丁在研究數學問題時遇到一個定義：對于排好順序的k個數：x₁，x₂，x₃，…，x_k，稱為數列A_k：x₁，x₂，x₃，x_k，其中k為整數且k≥3．定義V（A_k）=|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x_k-1-x_k|．例如，若數列A₅：1，2，3，4，5，則V（A₅）=|1-2|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4．根據以上材料，回答下列問題：
（1）已知數列A₃：3，5，-2，求V（A₃）；
（2）已知數列A₄：x₁，x₂，x₃，x₄，其中x₁，x₂，x₃，x₄，為4個互不相等的整數，且x₁=3，x₄=7，V（A₄）=4，直接寫出滿足條件的數列A₄；
（3）已知數列A₅：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5個數均為非負數，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=25．直接寫出V（A₅）的最大值和最小值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據定義V（A_k）=|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x_k-1-x_k|，代入數據即可求出結論；
（2）在數軸上標出x₁、x₄表示的點，利用數形結合可得出x₂、x₃在3到7之間，找出所有的搭配方式，此題得解；
（3）由數列A₅：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5個數均為非負數，結合絕對值即可得出0≤V（A₅）≤25，此題得解．

解答 解：（1）V（A₃）=|3-5|+|5-（-2）|=2+7=9；
（2）V（A₄）=|3-x₂|+|x₂-x₃|+|x₃-7|=4可看成3條線段的長度和，如圖所示．
∵7-3=4，
∴x₂、x₃在3到7之間，
∵x₁，x₂，x₃，x₄為4個互不相等的整數，
∴數列A₄為：3，4，5，7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．
（3）∵x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5個數均為非負數，
∴x₁≥|x₁-x₂|，x₂≥|x₂-x₃|，x₃≥|x₃-x₄|，x₄≥|x₄-x₅|，x₅≥0，
∴0≤|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+|x₃-x₄|+|x₄-x₅|≤x₁+x₂+x₃+x₄+x₅，即0≤V（A₅）≤25．
∴V（A₅）的最大值為25，最小值為0．

點評 本題考查了列代數式、有理數和絕對值，讀懂題意熟練掌握新定義式是解題的關鍵．