Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AB于點F，交AC的延長線于點E．
（1）判斷EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AF=6，sinE=$\frac{3}{5}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）EF與⊙O相切，先根據等腰三角形三線合一得：BD是高線也是中線，由此得OD是△ABC的中位線，
所以OD∥AB，所以OD⊥EF，則EF與⊙O相切；

（2）設圓的半徑為x，根據△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，則直徑AC=$\frac{15}{2}$，則AB=$\frac{15}{2}$，由此可得結論．

解答 解：（1）EF與⊙O相切，理由是：
連接OD、AD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OC，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF與⊙O相切；
（2）∵OD∥AB，
∴△EOD∽△EAF，
∴$\frac{OD}{AF}=\frac{OE}{AE}$，
Rt△AEF中，sinE=$\frac{3}{5}$=$\frac{AF}{AE}$，
∵AF=6，
∴$\frac{3}{5}=\frac{6}{AE}$，
∴AE=10，
設OD=x，則OA=OD=x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{10-x}{10}$，
x=$\frac{15}{4}$，
∴OA=$\frac{15}{4}$，
∴AC=2OA=$\frac{15}{2}$，
∴AB=AC=$\frac{15}{2}$，
∴BF=AB-AF=$\frac{15}{2}$-6=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系、切線的判定、等腰三角形的性質及三角函數的定義，知道直線和圓的三種位置關系：①相離，②相切，③相交；重點掌握相切的判定：邊半徑證垂直或有垂直證半徑．