Question

20．如圖，△ABD中，點E、C分別在AB、AD上，BC與DE相交于點O，若∠1=∠2．求證：
（1）△BOD∽△EOC；
（2）△ACE∽△ABD．

Answer 1

分析 （1）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似，由∠1=∠2，∠BOE=∠DOC可判斷△BOE∽△DOC，則$\frac{BO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，利用比例性質得$\frac{BO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，加上∠BOD=∠COE，則根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷△BOD∽△EOC；
（2）與（1）證明方法一樣：由∠1=∠2，∠BAC=∠DAE可證明△ABC∽△ADE，則$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，利用比例性質得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，加上∠CAE=∠BAD，則可判斷△ACE∽△ABD．

解答 （1）證明：∵∠1=∠2，∠BOE=∠DOC，
∴△BOE∽△DOC，
∴$\frac{BO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
而∠BOD=∠COE，
∴△BOD∽△EOC；
（2）證明：∵∠1=∠2，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
而∠CAE=∠BAD，
∴△ACE∽△ABD．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了相似三角形的性質．