Question

10．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：
（1）AM⊥DM；
（2）M為BC的中點．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質得到∠BAD+∠ADC=180°，根據角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90°，根據垂直的定義得到答案；
（2）作NM⊥AD，根據角平分線的性質得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M為BC的中點．

點評 本題考查的是角平分線的性質，掌握平行線的性質和角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．