Question

9．如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-2x+8交y軸于點A，交x軸于點B，以AB為底作等腰三角形△ABC的頂點C恰好落在y軸上，連接BC，直線x=2交AB于點D，交BC于點E，交x軸于點G，連接CD．
（1）求證：∠OCB=2∠CBA；
（2）求點C的坐標和直線BC的解析式；
（3）求△DEB的面積；
（4）在x軸上存在一點P使PD-PC最長，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質和外角的性質可證得結論；
（2）可先求得A、B的坐標，則可求得OA=8、OB=4，在設OC=x，則AC=BC=8-x，在Rt△OBC中由勾股定理可列方程，可求得OC的長，則可求得點C的坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式；
（3）由直線AB、BC的解析式可分別求得點D、E的坐標，則可求得DE的長，可求得△DEB的面積；
（4）利用三角形三邊關系可知PD-PC＜CD，當P、D、C三點在一條線上時，則有PD-PC=CD，此時其差最長，延長CD交x軸于點P，則該點即為P點，由C、D的坐標可求得直線CD的解析式，則可求得點P的坐標．

解答 解：
（1）證明：
∵△ABC為等腰三角形，
∴∠CAB=∠CBA，∠OCB為外角，
∴∠OCB=∠CAB+∠CBA，
∴∠OCB=2∠CBA；
（2）在y=-2x+8中，令x=0可得y=8，令y=0可求得x=4，
∴A（0，8），B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
設OC=x，則AC=BC=8-x，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC²=OC²+OB²，
即（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
∴C（0，3），
設直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C點的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（3）直線x=2交AB于點D，交BC于點E，交x軸于點G，
∴D（2，4），E（2，$\frac{3}{2}$），G（2，0），
∴DE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，且B（4，0），
∴BG=4-2=2，
∴S_△DEB=$\frac{1}{2}$DE•BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$；
（4）∵PD-PC＜CD，
∴當P、D、C三點在一條線上時，則有PD-PC=CD，此時其差最長，

延長CD交x軸于點P，則該點即為P點，
設直線CD解析式為y=mx+n，
把C、D坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
令y=0可得$\frac{1}{2}$x+3=0，解得x=-6，
∴P（-6，0）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及等腰三角形和外角的性質、勾股定理、三角形的面積、三角形的三邊關系、待定系數法及方程思想．在（1）中注意利用三角形外角的性質，在（2）中注意利用方程思想，在（3）中求得DE的長是解題的關鍵，在（4）中確定出點P的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．