Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，∠EDF=∠B，∠EDF的兩邊分別與AB，AC交于點E，F，且BE=CD
（1）求證：BE+CF=BC；
（2）作CK平分∠ACB，交DF于點K，若DK=2FK，且BC=5$\sqrt{2}$，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的外角的性質可求得∠BED=∠FDC，再結合條件可證明△BED≌△CDF，可求得BE=CD，BD=CF，再利用線段的和差可證得結論；
（2）過點F作FH∥CD，交CK的延長線于點H，則可證得△CDK∽△HFK，且CF=FH，則可證得CD=2CF，結合（1）中的結論可證得CD=2BD，可求得BD的長．

解答 （1）證明：
∵∠B+∠BED=∠CDF+∠EDF，且∠B=∠EDF，
∴∠BED=∠CDF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BE=CD}\\{∠BED=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CDF（ASA），
∴BE=DC，BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴BE+CF=BC；
（2）解：
如圖，過點F作FH∥CD，交CK的延長線于點H，

∵CK平分∠BCA，
∴∠FCH=∠BCH=∠H，
∴CF=HF，
∵FH∥CD，
∴△CDK∽△HFK，
∴$\frac{CD}{FH}$=$\frac{DK}{FK}$=$\frac{2FK}{FK}$=2，
∴CD=2FH=2CF，
又由（1）可知BD=CF，
∴CD=2BD，
∴BC=3BD=$5\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性質，構造三角形全等或相似是解題的關鍵．