Question

17．如圖，△ABC中，∠ACB=α（0°＜α＜90°），CD平分∠ACB，過C點(diǎn)作CD的垂線交AB的垂直平分線于M，連接AM，求∠BAM（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 先連接BM，過M作MQ⊥AB于H，交CD的延長線于Q，連接AQ，BQ，根據(jù)MQ即為AB的垂直平分線，得出AQ=BQ，再過Q作QE⊥CA于E，作QF⊥BC于F，判定Rt△AEQ≌Rt△BFQ（HL），得出A，Q，B，C四點(diǎn)共圓，再根據(jù)∠QCM=90°，得出M在△BQC的外接圓上，即A，C，M，B，Q五點(diǎn)共圓，最后根據(jù)MB=MA，求得∠BAM=90°-$\frac{1}{2}$α．

解答 解：連接BM，過M作MQ⊥AB于H，交CD的延長線于Q，連接AQ，BQ，
由題可得，M在AB的垂直平分線上，
∴MQ即為AB的垂直平分線，
∴AQ=BQ，
過Q作QE⊥CA于E，作QF⊥BC于F，
∵在四邊形ACBQ中，CQ平分∠ACB，
∴QE=QF，
∴Rt△AEQ≌Rt△BFQ（HL），
∴∠QAE=∠QBF，
∵∠QAE+∠QAC=180°，
∴∠QBF+∠QAC=180°，
∴A，Q，B，C四點(diǎn)共圓，
∴QM垂直平分弦AB，圓心在QM上，
∵∠QCM=90°，
∴M在△BQC的外接圓上，
∴A，C，M，B，Q五點(diǎn)共圓，
∴∠AMB=∠ACB=α，
∵M(jìn)B=MA，
∴∠BAM=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α．

點(diǎn)評 本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰三角形．