Question

7．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M、N分別是AB、CB上的點(diǎn)，MN=4，以MN為直徑做半圓，點(diǎn)P為半圓弧中點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)給滑動(dòng)，到點(diǎn)B停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（　　）

• A． 2π
• B． 4-2$\sqrt{2}$
• C． 8-4$\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)圖形的運(yùn)動(dòng)的軌跡得出：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是兩個(gè)PP′的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為4，得OB=2，則BP=2$\sqrt{2}$，由圖1可知：四邊形MBNP′是矩形，則對(duì)角線NN=BP′=4，可以求PP′的長(zhǎng)．

解答 解：在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑分兩個(gè)階段：
①點(diǎn)M從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到此時(shí)的M時(shí)，如圖1，中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線為從P到P′的長(zhǎng)，即PP′的長(zhǎng)，
∵△BOP′是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴OB=OP=2，
∴BP=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵P為半圓弧的中點(diǎn)，MN為半圓的直徑，
∴MN=BP′=4，
∴PP′=BP′-BP=4-2$\sqrt{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)M繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，如圖2，中點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線為從P′到P的路線長(zhǎng)，即也是PP′的長(zhǎng)，
綜上所述，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是：2（4-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{2}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想，得出P的運(yùn)動(dòng)路線是兩個(gè)PP′的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．