Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的內切圓，連接OA，則sin∠OAB的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，設⊙O的半徑為r，先利用勾股定理計算出AB=5，再根據切線的性質得OD=OE=OF=r，易得四邊形CEOF為正方形，所以CE=CF=r，則利用切線長定理得到AE=AD=4-r，BF=BD=3-r，所以4-r+3-r=5，解得r=1，于是得到AD=3，然后計算出OA后利用正弦的定義求解．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，設⊙O的半徑為r，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OD=OE=OF=r，
∴四邊形CEOF為正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AD=4-r，BF=BD=3-r，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AD=3，
在Rt△AOD中，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選C．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了切線長定理和切線的性質．