Question

3．如圖所示，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于D．若AB=8，AC=6，則AD的長是$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 過點C作CM⊥AD于點M，延長CM交AB于點E，過點E作EF∥AD交BC于點F，則△ACE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得出AM、BE的長度，設DM=x，則EF=2x，再根據平行線的性質即可得出$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，代入數據解分式方程即可得出x值，將其代入AD=AM+DM中即可求出AD的長度．

解答 解：過點C作CM⊥AD于點M，延長CM交AB于點E，過點E作EF∥AD交BC于點F，如圖所示．
∵∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于D，AB=8，AC=6，
∴△ACE為等邊三角形，BE=AB-AC=2，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．
設DM=x，則EF=2x，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，即$\frac{2}{8}=\frac{2x}{3\sqrt{3}+x}$，
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
經檢驗，x=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$是原方程的解，
∴AD=AM+DM=$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．
故答案為：$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、平行線的性質以及解分式方程，通過解分式方程求出DM的長度是解題的關鍵．