Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為$\sqrt{10}$，對角線AC、BD相交于點O，以AB為斜邊在正方形內(nèi)部作Rt△ABE，∠AEB=90°，連接OE，點P為邊AB上的一點，將△AEP沿著EP翻折到△GEP，若PG⊥BE于點F，OE=$\sqrt{2}$，則S_△EPB=$\frac{30-3\sqrt{10}}{20}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BM=AE，連接OM，OE，AC與BE交于點K，由△OAE≌△OBM得EO=OM，∠AOE=∠BOM，所以∠EOM=∠AOB=90°，得EM=$\sqrt{2}$OE，設(shè)AE=BM=a，在RT△ABE中，由AB²=AE²+BE²求出a，得到AE=1，BE=3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到PA=PG，∠APE=∠GPE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEP=∠GPE=∠APE，過E作EH⊥AB于H，根據(jù)三角形的面積公式得到EH=$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，在BE上截取BM=AE，連接OM，OE，AC與BE交于點K，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=OB，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠EAK+∠AKE=90°，∠BKO+∠OBM=90°，
∵∠BKO=∠AKE，
∴∠EAO=∠OBM，
在△OAE和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBM}\\{AE=MB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBM，
∴OE=OM，∠AOE=∠BOM，
∴∠EOM=∠AOB=90°，
∴EM=$\sqrt{2}$OE=2，設(shè)AE=BM=a，
在RT△ABE中，∵AB²=AE²+BE²，
∴10=a²+（a+2）²，
∵a＞0，
∴a=1，
∴AE=1，BE=3，
∵△PEG是由△PEA翻折，
∴PA=PG，∠APE=∠GPE，
∵PG⊥EB，AE⊥EB，
∴AE∥PG，
∴∠AEP=∠GPE=∠APE，
∴AP=AE=1，PB=$\sqrt{10}$-1，
過E作EH⊥AB于H，
∴EH=$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴S_△EPB=$\frac{1}{2}$PB•HE=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{10}$-1）×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{30-3\sqrt{10}}{20}$．
故答案為：$\frac{30-3\sqrt{10}}{20}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考填空題的壓軸題．