Question

8．如圖，已知直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，2）為圓心，2為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．則△PAB面積的最大值是13．

Answer 1

分析 求出A、B的坐標，根據勾股定理求出AB，求出點C到AB的距離，即可求出圓C上點到AB的最大距離，根據面積公式求出即可．

解答 解：∵直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A點的坐標為（4，0），B點的坐標為（0，-3），3x-4y-12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5
過C作CM⊥AB于M，連接AC，
則由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×OC+$\frac{1}{2}$×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM=$\frac{16}{5}$，
∴圓C上點到直線y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距離是：2+$\frac{16}{5}$=$\frac{26}{5}$，
∴△PAB面積的最大值是$\frac{1}{2}$×5×$\frac{26}{5}$=13，
故答案為：13．

點評 本題考查了三角形的面積，點到直線的距離公式的應用，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線AB的最大距離．