Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E是邊BC的三等分點，連接AD、AC．則下列結論正確的是①②④．
①BD=AD；②∠CAD=90°；③若AB=6，則AE=2；④△ADE是等邊三角形．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，DN⊥AB于N，設AB=AC=6，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠B=∠C=30°，由直角三角形的性質得出AM=$\frac{1}{2}$AB=3，BM=CM=$\sqrt{3}$AM=3$\sqrt{3}$，得出BC=2BM=6$\sqrt{3}$，求出BD=DE=CD=2$\sqrt{3}$，DN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，得出BN=$\sqrt{3}$DN=3=$\frac{1}{2}$AB，AN=BN，由線段垂直平分線的性質得出BD=AD，①正確；由等腰三角形的性質得出∠DAN=∠B=30°，同理：CE=AE，∠CAE=∠C=30°，得出AD=DE=AE=2$\sqrt{3}$，△ADE是等邊三角形，③錯誤，④正確，求出∠CAD=90°，②正確；即可得出結論．

解答 解：作AM⊥BC于M，DN⊥AB于N，如圖所示：
設AB=AC=6，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴BM=CM=$\sqrt{3}$AM=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2BM=6$\sqrt{3}$，
∵點D、E是邊BC的三等分點，
∴BD=DE=CD=2$\sqrt{3}$，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
∴BN=$\sqrt{3}$DN=3=$\frac{1}{2}$AB，
∴AN=BN，
∵DN⊥AB，
∴BD=AD，①正確；
∴∠DAN=∠B=30°，
同理：CE=AE，∠CAE=∠C=30°，
∴AD=DE=AE=2$\sqrt{3}$，△ADE是等邊三角形，③錯誤，④正確，
∴∠DAE=60°，
∴∠CAD=60°+30°=90°，②正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．