Question

10．已知y=$\frac{1}{4}$（x-3）²頂點為M，與y軸交于N，直線y=kx-3k+1過定點P，與拋物線交于A、B兩點（A點在B點左邊）
（1）求P點坐標；
（2）若AB交MN于C，求$\frac{AC}{PC}$的最大值；
（3）分別作AD⊥x軸于D，BQ⊥x軸于Q
①當k=0時，A（1，1）、B（5，1），AB-（AP+BQ）=1；
②當k=$\frac{3}{4}$時，A（2，$\frac{1}{4}$）、B（7，4），AB-（AP+BQ）=1；
③猜想：當k變化時，是否存在平行于x軸的直線y=n，使AB兩點到直線y=n的距離和恒等于AB？若存在，求n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=kx-3k+1=k（x-3）+1可得點P坐標；
（2）由拋物線解析式求得點M、N的坐標，從而得出直線MN解析式y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，設A（a，$\frac{1}{4}$（a-3）²），則D（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$），由PM∥y軸知$\frac{AC}{PC}=\frac{AD}{PM}$=AD，表示出AD的長，根據二次函數的性質即可得其最值；
（3）①分別求出AB、AP+BQ的長即可得；②分別求出AB、AP+BQ的長即可得；③設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}}\\{y=kx-3k+1}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+6）x+12k+5=0，從而得出x₁+x₂=4k+6、x₁x₂=12k+5，表示出AB和A、B兩點到直線y=n的距離和，由題意列出方程求解可得．

解答 解：（1）∵y=kx-3k+1=k（x-3）+1，
∴當x=3時，y=1，即P（3，1）；

（2）由y=$\frac{1}{4}$（x-3）²知點M（3，0）、N（0，$\frac{9}{4}$），
∴直線MN的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
∵P、M兩點的橫坐標相同
∴PM∥y軸，
過點A作AD∥y軸交MN于D，
設A（a，$\frac{1}{4}$（a-3）²），則D（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$）
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{AD}{PM}$=AD，
∵AD=-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$（a-3）²=-$\frac{1}{4}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{16}$，
∴當a=$\frac{3}{2}$時，AD有最大值為$\frac{9}{16}$，即$\frac{AC}{PC}$的最大值為$\frac{9}{16}$；

（3）①當k=0時，∵A（1，1）、B（5，1）、P（3，1），
∴AB=4，AP+BQ=2+1=3，則AB-（AP+BQ）=1，
故答案為：1；
②當k=$\frac{3}{4}$時，∵A（2，$\frac{1}{4}$）、B（7，4）、P（3，1），
∴AB=$\sqrt{（7-2）^{2}+（4-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
AP+BQ=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-\frac{1}{4}）^{2}}$+4=$\frac{21}{4}$，
則AB-（AP+BQ）=$\frac{25}{4}$-$\frac{21}{4}$=1，
故答案為：1；
③存在，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}}\\{y=kx-3k+1}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+6）x+12k+5=0，
∴x₁+x₂=4k+6，x₁x₂=12k+5，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x₁-x₂|=4k²+4，
又A、B兩點到直線y=n的距離和為$\frac{1}{4}$x₁²-$\frac{3}{2}$x₁+$\frac{9}{4}$-n+$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{3}{2}$x₂+$\frac{9}{4}$-n=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）²-$\frac{1}{2}$x₁x₂-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{9}{2}$-2n=4k²+2-2n，
∴4k²-2n+2=4k²+4，
解得：n=-1．

點評 本題主要考查二次函數的綜合應用，熟練掌握直線與拋物線的交點問題及兩點間的距離公式是解題的關鍵．