Question

3．解答下列問題：
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩根x₁，x₂（b²-4ac≥0）．用求根公式寫出x₁，x₂，并證明x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x ₂=$\frac{c}{a}$
（2）若一元二次方程x²+x-1=0的兩根為m，n，運用（1）中的結論，求$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用求根公式找出x₁，x₂，將其相加（相乘）整理后即可得出結論；
（2）根據根與系數的關系即可得出m+n=-1、mn=-1，將$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$邊形為$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$，再代入數據即可得出結論．

解答 （1）證明：∵x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-2b}{2a}$=-$\frac{a}$．
x₁x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（-b）^{2}-（^{2}-4ac）}{4{a}^{2}}$=$\frac{^{2}-^{2}+4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$．
（2）解：∵一元二次方程x²+x-1=0的兩根為m，n，
∴m+n=-1，mn=-1，
∴$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{{1}^{2}-2×（-1）}{-1}$=-3．

點評 本題考查了根與系數的關系以及公式法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）利用公式法求出x₁，x₂的值；（2）根據根與系數的關系找出m+n=-1、mn=-1．