Question

2．在平面直角坐標系中，正方形OABC，A（6，0），B（6，6），C（0，6），現有一個動點P從C點出發，向y軸的負方向運動，速度為每秒1個單位，同時另一個動點Q以相同的速度．從A點出發，向x軸正方向運動，作直線PQ，交射線BA于D，設兩運動點運動的時間為t秒．
（1）求證：△BCP≌△BAQ；
（2）求出直線PQ的解析式（用含的式子表示）；
（3）求t為何值時，△BDP為等腰三角形；
（4）當P在線段CO上運動時，過P、B、D三點的一個圓交BC于E，E點關于BP的對稱點為F，在第一象限內是否存在一個點G，并且G到F的距離為定值，如存在，請直接寫出這個定值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接PB．依據題意可得到CP=AQ，然后依據正方形的性質可得到BC=AB，∠PCB=∠BAQ=90°，接下來依據SAS可證明△PCB≌△QAB；
（2）設點P的坐標為（0，6-t），則點Q的坐標為（6+t，0）．設直線PQ的解析式為y=kx+6-t，將點Q的坐標代入可求得直線PQ的解析式；
（3）當PA=PD時，如圖2所示：連接PB，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則四邊形BCPE為矩形，然后用含t的式子，表示出PO、BD的長，從而得到AD的長，然后證明△QDA∽△QPO，接下來，依據相似三角形對應邊成比例列出關于t的方程即可；∴$\frac{AD}{PO}=\frac{AQ}{OQ}$，當t=6時，點D與點A重合，點P與點O重合，此時，△PBD為等腰直角三角形；如圖3所示：當點P位于x軸的下方時，∠PDB為鈍角，可證明△PDB不是等腰三角形此種情況不成立；
（4）連結BQ、PE，過點F作PI⊥OC，垂足為I．由題意可知點P的坐標為（0，6-t），Q的坐標為（6+t，）首先證明△PBQ為等腰直角三角形，于是可證明CE=AD，然后證明PB為∠EPD的角平分線，從而可得到點F在PQ上，接下來，證明△PCE≌△FIP，于是可證明CP=IF=t，PI=AD，將x=6代入直線PQ的解析式求得點D的縱坐標，從而得到AD的長，然后依據OI=PO-PI求得OI的長，從而得到點F的坐標為（t，$\frac{6（6-t）}{6+t}$），設點F的坐標為（x，y），消去字母t得到y與x的函數關系，然后依據點F的軌跡作出判斷即可．

解答 解：（1）如圖1所示：連接PB．

∵點P和點Q運動的速度相同，
∴CP=AQ．
∵四邊形OABC為正方形，
∴BC=AB，∠PCB=∠BAQ=90°．
在△PCB和△QAB中$\left\{\begin{array}{l}{PC=AQ}\\{∠PCB=∠QAB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△QAB．

（2）設點P的坐標為（0，6-t），則點Q的坐標為（6+t，0）．
設直線PQ的解析式為y=kx+6-t．
將點Q的坐標代入得：k（6+t）+6-t=0，解得：k=$\frac{t-6}{t+6}$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{t-6}{t+6}$x+6-t．（t≥0）．
（3）當PA=PD時，如圖2所示：連接PB，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則四邊形BCPE為矩形．

∵四邊形BCPE為矩形，
∴BE=CP=t．
∵PB=PD，PE⊥AB，
∴BE=ED=t，即BD=2t．
∵DA∥PO，
∴△QDA∽△QPO．
∴$\frac{AD}{PO}=\frac{AQ}{OQ}$，即$\frac{6-2t}{6-t}=\frac{t}{6+t}$，解得t=6$\sqrt{2}$-6（負值已舍去）．
當t=6時，點D與點A重合，點P與點O重合，此時，△PBD為等腰直角三角形．
如圖3所示：當點P位于x軸的下方時，∠PDB為鈍角．

要使△PBD為等腰三角形，則PD=BD．
∴∠PBD=∠BPD．
∵AB∥OC，
∴∠CPB=∠PBD．
∴∠CPB=∠DPB．
∵BC⊥OC，BE⊥PQ，
∴BC=BE=6．
又∵AB=6，BE＞AB，
∴假設不成立．
∴當點P位于x軸的下方時，△BPD不能構成等腰三角形．
綜上所述，當t=6$\sqrt{2}$-6或t=6時，△BPD為等腰三角形．

（4）如圖4所示：連結BQ、PE，過點F作PI⊥OC，垂足為I．

由題意可知點P的坐標為（0，6-t），Q的坐標為（6+t，）．
∵∠EBD=90°，
∴DE為圓的直徑．
∴∠EPA=90°．
由（1）可知：△PCB≌△QAB．
∴PB=BQ，∠CBP=∠ABQ．
∴∠CBP+PBD=∠ABQ+∠PBA=90°，即∠PBQ=90°．
∴△PBQ為等腰直角三角形．
∴∠BPQ=45°．
∴PB平分∠EPD．
∴EB=BD．
∴CE=AD．
∵點F與點E關于PB對稱，
∴點F在PB上，且PE=PF．
∵∠CPE+∠CEP=90°，∠IPF+∠CPE=90°，
∴∠CEP=∠IPF．
在△PCE和△FIP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEP=∠IPF}\\{∠PIF=∠PCE}\\{EP=PF}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△FIP．
∴CP=IF=t，CE=PI．
∴PI=AD．
將x=6代入直線PQ的解析式得：y=$\frac{6（t-6）}{t+6}+6-t$．
∴AD=$\frac{6（t-6）}{t+6}+6-t$．
∴OI=PO-PI=$\frac{6（6-t）}{6+t}$．
設點F的坐標為（x，y），則x=t，y=$\frac{6（6-t）}{6+t}$．
將t=x代入得：y=$\frac{6（6-x）}{6+x}$=$\frac{78}{x+6}-6$，即y=$\frac{78}{x+6}-6$．
∴點F的軌跡為雙曲線的一個部分．
∴第一象限內不存在一個點G，使G到F的距離為定值．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定、圓周角定理以及其推理、軸對稱圖形的性質、等腰直角三角形的性質和判定、角平分線的性質，用含t的式子表示出點F的坐標，然后消去字母t得到點F的縱坐標y與橫坐標x的函數關系式是解題的關鍵．