Question

（本小題滿分12分）如圖，拋物線y=Ax2+C（A≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；

②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣1；（2）詳見解析；（3）①；②詳見解析

【解析】

試題分析：（1）【解析】
∵拋物線y=Ax2+C（A≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1），

∴，

解得，

所以，拋物線的解析式為y=x2﹣1；

（2）證明：設點A的坐標為（m，m2﹣1），

則AO==m2+1，

∵直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，

∴點M的縱坐標為﹣2，

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，

∴AO=AM；

（3）【解析】
①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴=+=1；

②k取任何值時，設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

則===，

聯立，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根與系數的關系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，

x12•x22=16，

∴===1，

∴無論k取何值，的值都等于同一個常數1．

考點：二次函數綜合題