Question

(本小題滿分12分 ）已知拋物線y=ax2+bx+1經過點A（1，3）和點B（2，1）。

（1）求此拋物線解析式；

（2）點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；

（3）①在拋物線AB段上存在一點E使△ABE的面積最大，求E點的坐標

②請直接寫出以A、 B和在滿足①的條件中的E點為頂點的平行四邊形的第四個頂點P的坐標。

 

Answer 1

（1）y=-2x2+4x+1；（2）5+；（3）①E（，）；②P1（，）；P2（，），P3（， ）

【解析】

試題分析：

試題解析：（1）依題意：3=a+b+1，1=4a+2b+l，解得：a=-2，b=4，

∴拋物線的解析式為y=-2x2+4x+1；

（2）點A（1，3）關于y軸的對稱點A′的坐標是（-1，3），

點B（2，1）關于x軸的對稱點B′的坐標是（2，-1），

由對稱性可知AB+BC+CD+DA=AB+B′C+CD+DA≥AB+A′B′，

由勾股定理可求得

所以，四邊形ABCD周長的最小值是AB+A'B′=5+；

（3）①若要使△ABE的面積最大，則可將線段AB所在的直線向上平移，直到與拋物線AB段只有一個交點為止。此時的點E即為所求做的點。設E（x,y）

易知

∴可知點E滿足：，其中m為某一實數

整理得E(x,y）滿足方程2x2-6x+m-1=0，且此時x是方程的唯一解

故x=,

∴E（，）

②P1（，） P2（，） P3（， ）

考點: 二次函數綜合題