Question

6．已知某種產品的進價為每件40元，現在的售價為每件60元，每星期可賣出200件，市場調查發現，該產品每降價1元，每星期可多賣出20件，由于供貨方的原因銷量不得超過280件，設這種產品每件降價x元，每星期的銷售利潤為w元．
（1）求w與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）該產品銷售價定為每件為多少元時，每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）設該產品的售價為m元，則m在什么范圍時，每星期的銷售利潤不低于3420元，請直接寫出結果56≤m≤60．

Answer 1

分析 （1）根據利潤=（售價-進價）×銷售件數即可求得W與x之間的函數關系式；
（2）利用配方法求得函數的最大值，從而可求得答案；
（3）根據每星期的銷售利潤不低于3420元列不等式求解即可．

解答 解：（1）w=（20-x）（200+20x）=-20x²+200x+4000，
∵200+20x≤280，
∴0≤x≤4，且x為整數；

（2）w=-20x²+200x+4000=-20（x-5）²+4500，
∵當x＜5時，w隨x的增大而增大，
∴當x=4時有最大利潤4480元； 

（3）根據題意得：
-20（x-5）²+4500≥3420，
解得：5-3$\sqrt{6}$≤x≤5+3$\sqrt{6}$．
又∵x≤4，
∴0≤x≤4，
即售價不低于56元且不高于60元時，每星期利潤不低于3420元，
故答案為：56≤m≤60．

點評 此題考查二次函數的性質及其應用以及拋物線的基本性質，將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題是解題關鍵．