Question

11．已知平行四邊形ABCD中，
（1）如圖1，若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若AE、CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（3）如圖2，在（1）的基礎上，連接BE，DF，分別交FC，EA于點G，H．求證：四邊形EHFG為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的對邊相等得AB=CD，已知DE=BF，再作線段的差可得CE=AF，即可得出結論；
（2）證出AE∥CF，可證四邊形AFCE是平行四邊形；
（3）由（1）得：四邊形AFCE是平行四邊形，得出AF=CE，證出BF=DE，得出四邊形BEDF為平行四邊形，得出DF∥BE，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD．AB∥CD，
又∵DE=BF，
∴AB-BF=CD-DE．即AF=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE、CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線，
∴∠BAE=∠DCF，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
（3）證明：由（1）得：四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE，AE∥CF，
∵AB=CD，
∴BF=DE，
又∵AB∥CD，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴DF∥BE，
∴四邊形EHFG為平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質及判定方法．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系．