Question

2．圖（1）是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數學知識呢？下面請你解決以下問題：

（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，回答下列兩個問題：
①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C．若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=40°；
②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G₁、G₂、G₃、G₄，若∠BDC=135°，∠BG₁C=67°，求∠A的度數．

Answer 1

分析 （1）連接AD并延長，根據三角形的外角和內角關系解答；
（2）①利用（1）的結論，直接計算出∠ABX+∠ACX的度數；
②圖（3）利用（1）的結論，根據∠BDC=135°，∠BG₁C=67°，計算出相等的角：∠DBG₄+∠DCG₄的和，再次利用（1）的結論，求出∠A的度數．

解答 解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：
連接AD并延長到M．
因為∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°，∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC-∠A
=90°-50°
=40°．
②在箭頭圖G₁BDC中
因為∠BDC=∠G₁+∠G₁BD+∠G₁CD，
又∵∠BDC=135°，∠BG₁C=67°
∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G₁、G₂、G₃、G₄
∴4（∠DBG₄+∠DCG₄）=135°-67°
∴∠DBG₄+∠DCG₄=17°．
∴∠ABG₁+∠ACG₁=17°
∵在箭頭圖G₁BAC中
∵∠BG₁C=∠A+∠G₁BA+∠G₁CA，
又∵∠BG₁C=67°，
∴∠A=50°．
答：∠A的度數是50°．

點評 本題考查了外角和內角的關系以及角的計算．找出“箭頭圖”并利用“箭頭圖”間角的關系是解決本題的關鍵