Question

14．觀察下列各式，發現規律：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
（1）填空：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）計算（寫出計算過程）：$\sqrt{2015+\frac{1}{2017}}$；
（3）請用含自然數n（n≥1）的代數式把你所發現的規律表示出來．

Answer 1

分析 （1）根據等式的變化，再寫出后面兩個等式即可；
（2）通分后再開平方即可得出結論；
（3）根據等式的變化找出變化規律“$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）”，此題得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；
∴$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
故答案為：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
（2）$\sqrt{2015+\frac{1}{2017}}$=$\sqrt{\frac{2015×2017+1}{2017}}$=$\sqrt{\frac{4064256}{2017}}$=2016$\sqrt{\frac{1}{2017}}$．
（3）觀察，發現規律：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…，
∴$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）．

點評 本題考查了實數以及規律型中數字的變化類，根據等式的變化找出變化規律是解題的關鍵．