Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸相交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸公式及A、C兩點的坐標直接求解即可；
（2）由于B點與A點關于對稱軸對稱，故連接BC與對稱軸的交點即為M點；
（3）設出P點的縱坐標，分別表示出BP，PC，BC三條線段的長度的平方，分三種情況，用勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），
∴B（-3，0），
把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=x+3；
（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，
則此時MA+MC的值最小．
把x=-1代入直線y=x+3，得y=2，
∴M（-1，2），
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）；

（3）設P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），
BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（t-3）²+1²=t²-6t+10，
若B為直角頂點，則：BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解得：t=-2；
若C為直角頂點，則：PB²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解得：t=4；
若P為直角頂點，則PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，解得：t=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$．
綜上所述，滿足要求的P點坐標為（-1，-2），（-1，4），（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$），（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）

點評 本題為二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，軸對稱與最短路徑問題，勾股定理，一元一次方程，一元二次方程等知識點，難度不大．對于第三問，根據直角頂點的不同進行分類討論是解答的關鍵．