Question

1．黑板上寫有$1，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，…，\frac{1}{100}$共100個數字．每次操作先從黑板上的數中選取2個數a，b，然后刪去a，b，并在黑板上寫上數a+b+ab，則經過99次操作后，黑板上剩下的數是（　　）

• A． 2012
• B． 101
• C． 100
• D． 99

Answer 1

分析 經過99次操作后，黑板上剩下的數為x，則x+1=（1+1）×（$\frac{1}{2}$+1）×（$\frac{1}{3}$+1）×（$\frac{1}{4}$+1）×…×（$\frac{1}{99}$+1）×（1+$\frac{1}{100}$），整理可得x+1=101，解方程即可．

解答 解：∵a+b+ab+1=（a+1）（b+1），
∴每次操作前和操作后，黑板上的每個數加1后的乘積不變，
設經過99次操作后，黑板上剩下的數為x，則
x+1=（1+1）×（$\frac{1}{2}$+1）×（$\frac{1}{3}$+1）×（$\frac{1}{4}$+1）×…×（$\frac{1}{99}$+1）×（1+$\frac{1}{100}$），化簡得：x+1=101，
解得：x=100，
∴經過99次操作后，黑板上剩下的數是100．
故選C．

點評 此題主要考查了推理與論證，一元一次方程的解法，關鍵是正確利用數據找出每次操作前和操作后黑板上剩下的數的規律．