Question

3．如圖，直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直線l向正方形DEFG移動，直到AB與DC重合時停止，移動前如圖①所示，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，正方形的邊長為8cm．設移動x（s）時，三角形與正方形重疊部分的面積y（m²）
（1）寫出y與x的關系表達式；
（2）求x=4時，y的值；
（3）當重疊部分面積恰好等于△ABC面積一半時，△ABC移動了多少秒？

Answer 1

分析 （1）根據他在他家得到CG=6-x，根據相似三角形的性質得到HG=$\frac{24-4x}{3}$，根據三角形的面積公式即可得到結論；
（2）把x=4代入解析式即可得到結論；
（3）根據重疊部分面積恰好等于△ABC面積一半，列方程即可得到結論．

解答 解：（1）如圖②∵直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直線l向正方形DEFG移動，
∴BG=x，∵BC=6，
∴CG=6-x，
∵DG∥AB，
∴△CGH∽△CBA，
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{HG}{AB}$，
∴$\frac{6-x}{6}$=$\frac{HG}{8}$，
∴HG=$\frac{24-4x}{3}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×（6-x）×$\frac{24-4x}{3}$=$\frac{2}{3}$x²-8x+24；
（2）當x=4時，y=$\frac{8}{3}$；
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
當重疊部分面積恰好等于△ABC面積一半時，
即$\frac{2}{3}$x²-8x+24=12，
解得：x=6+3$\sqrt{2}$（不合題意，舍去），x=6-3$\sqrt{2}$，
∴△ABC移動了（6-3$\sqrt{2}$）秒．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，平移的性質，正確的理解題意是解題的關鍵．