Question

12．如圖，在矩形ABCD中，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AD邊于點E，連接BE，過C點作CF⊥BE，垂足為F
（1）猜想線段BF與圖中現有的哪一條線段相等，并加以證明．
（2）求證：FE=ED．

Answer 1

分析 （1）結論：BF=AE．只要證明△AEB≌△FBC，即可解決問題．
（2）連接EC，只要證明Rt△CEF≌Rt△CED，即可．

解答 （1）解：結論：BF=AE．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠BFC=90°，AE∥CB，
∴∠AEB=∠CBF，
在△AEB和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BFC}\\{∠AEB=∠CBF}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FBC，
∴AE=BF．

（2）證明：連接EC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=∠CFE=90°
∵△AEB≌△FBC，
∴AB=CF，
∵AB=CD，
在Rt△CEF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CEF≌Rt△CED，
∴EF=ED．

點評 本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．