Question

13．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）當$\frac{CE}{EB}$=$\frac{2}{3}$時，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）當DE平分∠CDB時，求證：AF=$\sqrt{2}$OA；
（3）當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=$\frac{1}{2}$BG．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性質求得EF與DF的比值，依據△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可．

解答 解：（1）∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{2}{5}$；

（2）證明：∵DE平分∠CDB，
∴∠ODF=∠CDF，
∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，
而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA；

（3）證明：連接OE．
∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點，
點O是BD的中點．
又∵點E是BC的中點，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OFE∽△CFD，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴$\frac{EG}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∵點E是BC的中點，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{2}$，即CG=$\frac{1}{2}$BG．

點評 本題是正方形的性質、勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確理解相關的性質定理和判定定理是解題的關鍵．