Question

8．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC、BC，S_△ABC是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）可設出P點坐標，則可表示出C點坐標，從而可表示出PC的長，再利用二次函數的性質可求得PC的最大值，及P點的坐標；
（3）由（2）可求得PC的最大值，利用PC可表示出△ABC的面積，由（2）可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵點B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）過A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\\{16a+4b+6=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=2x²-8x+6；

（2）∵P點在線段AB上，
∴可設P（t，t+2）（$\frac{1}{2}$＜t＜4），
∵PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C，
∴C（t，2t²-8t+6），
∴PC=t+2-（2t²-8t+6）=-2t²+9t-4=-2（t-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∵-2＜0，
∴當t=$\frac{9}{4}$時，PC有最大值，最大值為$\frac{49}{8}$，此時P點坐標為（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{2}$），
即存在滿足條件的點P，當P點坐標為（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{2}$）時，PC有最大值$\frac{49}{8}$；

（3）∵S_△ABC=S_△PCA+S_△PCB=$\frac{1}{2}$PC（4-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$PC，
∴當PC最大時，△ABC的面積最大，
由（2）可知PC有最大值$\frac{49}{8}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{7}{4}$×$\frac{49}{8}$=$\frac{343}{32}$，即△ABC的面積存在最大值．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、三角形的面積等知識．在（1）中求得B點坐標是解題的關鍵，在（2）中用P點坐標表示出PC的長是解題的關鍵，在（3）中用PC表示出△ABC的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．